力学系の数値シミュレーション

はじめに

本サイトでは，プログラミング言語Pythonを用いて，写像や微分方程式により与えられる
さまざまな力学系の数値シミュレーションを実行し，力学系で起こる複雑な現象を紹介します．

使用しているPythonのプログラムはダウンロードできるようになっているので，
PythonとライブラリNumPy，Scipy，matplotlibをインストール済みであれば，
実際にPCで計算を実行し，結果を画面上で見ることもできます．
また，簡単な修正により，他のパラメータの値や初期値に対する軌道，
さらには他のモデルの計算も可能です．

写像

ロジスティック写像

\[ f_a:x\mapsto ax(1-x),\quad x\in[0,1]\quad\text{($a\in[0,4]$は定数)} \]

エノン写像

\[ f_{a,b}:(x_1,x_2)\mapsto(1-ax_1^2+x_2,bx_1),\quad (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2,\quad a,b\in\mathbb{R} \]

微分方程式系

ローレンツ系

\[ \dot{x}=\sigma(y-x),\quad \dot{y}=\rho x-y-xz,\quad \dot{z}=-\beta z+xy,\quad x,y,z\in\mathbb{R}\quad \text{($\sigma,\rho,\beta\in\mathbb{R}$は定数)} \]

周期外力の作用するダフィング方程式

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+\delta\frac{d x}{dt}+a_1x+a_3x^3=\gamma\cos\omega t,\quad x\in\mathbb{R}\quad \text{($a_1,a_3,\delta,\gamma,\omega$ は定数かつ $\delta,\gamma,\omega>0$)} \] または \[ \frac{dx_1}{dt}=x_2,\quad \frac{dx_2}{dt}=-a_1x_1-a_3x_1^3-\delta x_2+\gamma\cos\omega t,\quad (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \]

周期外力の作用するファン・デル・ポール方程式

\[ \frac{d^2x}{dt^2}-\delta(1-x^2)\frac{d x}{dt}+x=\gamma\cos\omega t,\quad x\in\mathbb{R}\quad \text{($\delta,\gamma,\omega>0$ は定数)} \] または \[ \frac{dx_1}{dt}=x_2,\quad \frac{dx_2}{dt}=-x_1+\delta(1-x_1^2)x_2+\gamma\cos\omega t,\quad (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 \]

エノン・ハイレス系

\[ \dot{x}_1=x_3,\quad \dot{x}_2=x_4,\quad \dot{x}_3=-x_1-c x_2^2-d x_1^2,\quad \dot{x}_4=-x_2-2c x_1 x_2,\quad (x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\quad \text{($c,d$は定数)} \]