周期外力の作用するダフィング方程式2

$a_1=-1$，$a_3=1$ とする． $\gamma=0$ のとき，$x=\pm 1$ または $(x_1,x_2)=(\pm 1,0)$ は定数解となる．
$\delta,\gamma=0.1$，$\omega=1$ に固定する．

"duf4.py"を使用

初期値 $(x_1,x_2)=(1,0)$ に対する軌道

$a_1=1$ の場合と同様に， $t\to\infty$ のとき $x(t)$ は振幅が一定の，外力と同じ周期の周期軌道に漸近する．

"duf5.py"を使用

初期値 $(x_1,x_2)=(0.1,0.25)$ に対する軌道

上の場合と異なり，$t\to\infty$ のとき $x(t)$ は外力の2倍の周期の周期軌道に漸近する．
異なる2つの安定な周期軌道が存在する．

これらの安定周期軌道を $(x_1,x_2)$ 平面上にプロットする．

"duf6.py"を使用

$\omega=1$ に対する軌道

方程式の対称性から $x_2$ 軸に対称な安定周期軌道も存在する．

"duf7.py"を使用

$\omega=1$ に対する軌道

$\gamma=0.2$，$\omega=1.1$ とする．

"duf8.py"を使用

初期条件 $(x_1,x_2)=(1,0)$ に対する軌道

$t\to\infty$ のとき軌道は周期軌道に収束せず，カオス的である．

外力の1周期毎に点 $(x_1(t),x_2(t))$，$t=0\mod T=2\pi/\omega$，をプロットする．この操作により得られる点列は， \[ (x_1(0),x_2(0))\mapsto(x_1(T),x_2(T)) \] によって定められる写像の軌道とみなすこともできる．この写像はポアンカレ写像と呼ばれる．

"duf9.py"を使用

初期条件 $(x_1,x_2)=(1,0)$ に対する軌道

これはストレンジ・アトラクタの例であり，エノン写像の場合と同様にフラクタルな構造が見られる．
なお，ここで最初の100点はプロットされていない．

外力の振幅を $\gamma=0.3$ に増加する．

"duf10.py"を使用

大振幅の周期軌道

外力と同じ周期の，大振幅の安定周期軌道も存在する．このように解の挙動はバラエティに富んでいる．

次に，$\gamma=0.1$ として，$\omega$ を0.8から1.4まで増加，また，1.4から0.8まで減少させたときの定常状態における
$x_1(t)$，$t=0\mod T$，の値をプロットして得られる分岐ダイアグラムを計算する．

"dufb4.py"を使用 (計算時間は少々かかる)

$\gamma=0.1$ に対する分岐ダイアグラム

$\omega$ が減少するとき，$\omega=1.02$ と $0.98$ 付近で周期倍加分岐が起きているが，
ロジスティック写像やエノン写像の場合と異なり，カオスには至っていない．
また，$\omega$ が増加するとき，$\omega=1.2$ 付近でも分岐が起きている．

外力の振幅が $\gamma=0.2$ に増加すると， $\omega$ を変化させたときの挙動の変化はより複雑なものとなる．

"dufb5.py"を使用 (計算時間は少々かかる)

$\gamma=0.2$ に対する分岐ダイアグラム

$\omega$ が減少するとき，$\omega=1.24$ と $1.21$ 付近で周期倍加分岐が起こり，広い範囲でカオスが生じていることがわかる．
また，$\omega$ が増加するとき，$\omega=1.06$ 付近でも分岐が起きている．

プログラム dufb4.py〜dufb5.pyの"d=0.1"や"g=0.1"の行を変更して，異なる $\delta$ や $\gamma$ の値に対してこれらの結果が
どのように変化するか調べてみよう．

最後に，$a_1=0$，$a_3=1$，$\delta=0.1$，$\gamma=12$，$\omega=1$ の場合に対して数値シミュレーションを行う．

"duf11.py"を使用

$(x_1,x_2)$平面上の軌道

"duf12.py"を使用

ポアンカレ写像の軌道

上の2つの計算結果からカオス挙動が起きていることが確認できる．
この結果は，電気工学者の上田睆亮により1978年に出版された論文で最初に報告され，
後に，数理物理学者のリュエルにより「ジャパニーズ・アトラクタ」と命名された．

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