力学系の数値シミュレーション
はじめに
本サイトでは,プログラミング言語Pythonを用いて,
写像や微分方程式により与えられる
さまざまな力学系の数値シミュレーションを実行し,
力学系で起こる複雑な現象を紹介します.
使用しているPythonのプログラムはダウンロードできるようになっているので,
PythonとライブラリNumPy,Scipy,matplotlibをインストール済みであれば,
実際にPCで計算を実行し,結果を画面上で見ることもできます.
また,簡単な修正により,他のパラメータの値や初期値に対する軌道,
さらには他のモデルの計算も可能です.
写像
- ロジスティック写像
\[
f_a:x\mapsto ax(1-x),\quad
x\in[0,1]\quad\text{($a\in[0,4]$は定数)}
\]
- エノン写像
\[
f_{a,b}:(x_1,x_2)\mapsto(1-ax_1^2+x_2,bx_1),\quad
(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2,\quad a,b\in\mathbb{R}
\]
微分方程式系
-
ローレンツ系
\[
\dot{x}=\sigma(y-x),\quad
\dot{y}=\rho x-y-xz,\quad
\dot{z}=-\beta z+xy,\quad
x,y,z\in\mathbb{R}\quad
\text{($\sigma,\rho,\beta\in\mathbb{R}$は定数)}
\]
- 周期外力の作用するダフィング方程式
\[
\frac{d^2x}{dt^2}+\delta\frac{d x}{dt}+a_1x+a_3x^3=\gamma\cos\omega t,\quad
x\in\mathbb{R}\quad
\text{($a_1,a_3,\delta,\gamma,\omega$ は定数かつ $\delta,\gamma,\omega>0$)}
\]
または
\[
\frac{dx_1}{dt}=x_2,\quad
\frac{dx_2}{dt}=-a_1x_1-a_3x_1^3-\delta x_2+\gamma\cos\omega t,\quad
(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2
\]
-
周期外力の作用するファン・デル・ポール方程式
\[
\frac{d^2x}{dt^2}-\delta(1-x^2)\frac{d x}{dt}+x=\gamma\cos\omega t,\quad
x\in\mathbb{R}\quad
\text{($\delta,\gamma,\omega>0$ は定数)}
\]
または
\[
\frac{dx_1}{dt}=x_2,\quad
\frac{dx_2}{dt}=-x_1+\delta(1-x_1^2)x_2+\gamma\cos\omega t,\quad
(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2
\]
-
エノン・ハイレス系
\[
\dot{x}_1=x_3,\quad
\dot{x}_2=x_4,\quad
\dot{x}_3=-x_1-c x_2^2-d x_1^2,\quad
\dot{x}_4=-x_2-2c x_1 x_2,\quad
(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\quad
\text{($c,d$は定数)}
\]
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Latest Updating is on April 9, 2024.