Anosov性を持つ新しいリンケージの構成

力学系の双曲性とは，力学系が定義されている多様体の接束が拡大する部分束
と縮小する部分束に分解されることを意味する．これは軌道の安定性と密接に
関わっており，力学系において重要な概念である．さらにこの双曲性を多様体
全体で持つ連続力学系のクラスをAnosov流という．Anosov流の数学的な重要さ
の一方で，現実の物理系でこの性質を持つものを構成することは難しい．Hunt
とMacKayは，ロボットアームなどのモデルであるリンケージという物理系の，
特にトリプルリンケージという例についてAnosov性を示した．トリプルリンケー
ジはThurstonとWeeksによって紹介された物理系で，$\mathbb{R}^2$上におい
て，3つの二重振り子の片方の端点を同一円周上に固定し，他方を3つとも1点
で繋ぎ合わせるという対称的な構造をしている．これは，適切なパラメータに
おいて配位空間が$\mathbb{T}^3$に埋め込まれた種数3の閉曲面となる．特に
極限的なパラメータにおいては三重周期極小曲面のSchwarz P曲面となり，
Gauss曲率がほとんどいたるところ負となる．負曲率多様体上の測地流が
Anosov流になるという事実とAnosov流の構造安定性からリンケージは極限的な
パラメータの近傍でAnosov性を持つ．またポテンシャルや摩擦がある場合につ
いても，構造安定性からそれらが十分小さければAnosov性を持つ．本研究では，
HuntとMacKayが扱ったトリプルリンケージの$\mathbb{R}^3$上へのある種の変
形となっているリンケージを構成した．このリンケージの配位空間が，
$\mathbb{T}^4$の2次元部分集合になること，さらに適切なパラメータの値で
は2次元部分多様体になることも示した．また，この特徴づけをもとに配位空
間の曲率の具体的な表式を与え，適切なパラメータのもとで配位空間がいたる
ところ負の曲率を持つであろうことを数値的に確認した．さらに，この結果を
もとにリンケージのAnosov性を確認した．