従来、力学における対称性は長らく研究されてきた。力学系が対称性を有すると
は、系が定義されている空間にある群が作用し、かつ、その群の作用によって力
学系が不変に保たれることを指す。古典力学においては、ハミルトン系のシンプ
レクティック簡約化が対称性を扱うための代表的な理論である。これまでの研究
では、相空間などの幾何学的対象がもつ対称性と、ハミルトニアンなどの力学系
対象がもつ対称性とが一致する場合に焦点があてられていた。しかし、幾何学的
対象と力学的対象とがもつ対称性が必ずしも一致しないが、数理物理学的に重要
な力学が存在する。本研究では、そのような力学を次の２つの視点により分けて、
それぞれの場合を代表する力学を扱う。一つの視点は、系が古典的か量子的かで
ある。もう一つは、幾何学的対象に作用する群が有限次元か無限次元かである。

まず、古典的な描像において、無限次元群が幾何学的対象に作用している場合を
考える。具体的には、シンプレクティック簡約化されたハミルトン系の周期解に
対する変分原理を扱う。幾何学的対象はラグランジュ乗数付きのループ空間であ
り、その空間には無限次元のループ群が作用している。力学的対象としての作用
汎関数を本研究では新たに定義するが、この汎関数はループ群の作用で不変では
ない。したがって、変分原理自体を簡約化することはできない。本研究では、ルー
プ群の作用を用いることで、簡約化された方程式の周期解がこの変分原理により
特徴付けられることを示す。

次に、量子的な描像において対称性群が有限次元である場合として、$1/2$-スピン
(キュビットと呼ぶ)系のエンタングルメントを考える。幾何学的対象は$n$キュビッ
ト系の状態空間であり、その空間にエンタングルメントを不変に保つ対称群とし
て有限次元ユニタリー群$\U(2^{\ell})\otimes\U(2^{m}), (\ell+m=n)$が作用する。
また力学系として、Nuclear Magnetic Resonance (NMR) ハミルトニアンに随伴する
シュレディンガー方程式を考える。しかし、NMRハミルトニアンは群
$\U(2^{\ell})\otimes\U(2^{m})$の作用で不変ではなく、簡約化の方法をシュレディン
ガー方程式の解析に用いることが出来ない。本研究では、従来の用いられてきた
アプローチとは異なる新たな解析方法を示し、エンタングルメントの時間変化を
幾何学的な視点から考察する。

最後に、無限次元の群作用を持つ量子力学系を扱う。具体的には、２次元
トーラス上のアハラノフ・ボーム磁場に置かれた量子力学的な粒子を考える。
ここで、アハラノフ・ボーム磁場とは、有限個の点にのみ磁束が集中しているような
磁場を指す。波動関数は２次元トーラス上の複素直線束の切断と対応し、その切断の
なす空間をこの場合の幾何学的対象である。この複素直線束の切断のなく空間は
無限次元群であるゲージ変換のなす群(ゲージ群)の作用を許容する。この量子力
学系のハミルトニアンはゲージ群の作用で不変であり、正準運動量を保存量とし
て持つ。しかし、正準運動量を保存量として持つにも関わらず、ハミルトニアン
は正準運動量が生成する１-パラメータユニタリ群による対称性を許容しない。
本研究では、このような特徴をもっているアハラノフ・ボーム量子力学系の分類
を行い、さらにハミルトニアンの固有値問題について考察した。