KdV方程式に対するZakharov-Shabat系の微分Galois理論の意味での可積分性

逆散乱法を用いて，可積分系と呼ばれる非線形偏微分方程式の初期値問題の解
を解析的に求める際，Zakharov-Shabat系と呼ばれる線形常微分方程式系の固
有値問題を解く必要がある．しかしながら，これらの線形微分方程式は，必ず
しも，解が求積法で求められる，すなわち，微分Galois理論の意味で可積分で
あるとは限らない．本研究では，KdV方程式を取りあげ，
$u_0(x)=\alpha\sech^2x\ (\alpha>0)$ で与えられる初期関数に対して，
Zakharov-Shabat系の微分Galois理論の意味での可積分性を明らかにする．特
に，ある$n\in\Nset$に対して$\alpha=n(n+1)$であることが，
Zakharov-Shabat系が微分Galois理論の意味でつねに可積分になることの必要
十分条件であることを示す．