KdV方程式に対するAKNS系の微分Galois理論の意味での可積分性について

逆散乱法を用いて，可積分系と呼ばれる非線形偏微分方程式の初期値問題の解
を解析的に求める際，例えば，AKNS系における線形微分方程式に対する固有値
問題である，Zakharov-Shabatの固有値問題を解くことが必要となる．しかしな
がら，これらの線形微分方程式は，必ずしも，解が求積法で求められる，すな
わち，微分Galois理論の意味で可積分であるとは限らない．本研究では，KdV方
程式を取りあげ，初期関数が$u_0(x)=k\sech^2x$ ($k\in\Rset\setminus\{0\}$)
で与えられる場合に対して，AKNS系のZakharov-Shabatの固有値問題に対応する
Schr\"odinger方程式の微分Galois理論の意味での可積分性を解析する．
Schr\"odinger方程式を有理関数を係数とする2階線形微分方程式に変換し，3つ
の特異点をもつFuchs型の2階線形常微分方程式に対する木村の定理を適用して
微分Galois理論の意味で可積分となるための必要十分条件を求める．特に，初
期関数が$1$-ソリトン解に対応した$k=2$の場合を含む，$k=n(n+1)$
($n\in\Nset$)の場合，つねに微分Galois理論の意味で可積分となり，それ以外
の場合にはほとんどすべてのパラメータの値に対して非可積分となることが示
される．さらに，$k=2$の場合に対して，微分Galois理論の分野ではよく知られ
たKovacicのアルゴリスムを用いて，Schr\"odinger方程式の解を求め，その固
有値問題に関する既知の結果を確認する．