Stiefel多様体上の左不変計量に関する測地流と勾配アルゴリズム

評価関数が最大値をとる点を見つける問題についてはいくつかの解法があるが、そのうちの１つに勾配法がある。その理論は、更新ごとにその点での評価関数の増加率が最大となる方向を見つけ、その方向へと進むいう更新を繰り返すことで最大値または極大値を与える点へと収束させるというものである。その方向を定めるベクトルを勾配ベクトルと呼んでいる。ここで変数になんらかの拘束条件を付加した場合、一般にオイラー法のような低次の近似アルゴリズムで更新を行うと、理論上問題が無くても、数値計算上ではすぐに拘束条件を満たさなくなる。これを解決する方法として従来では、幾度かの更新の後に拘束条件へ引き戻すという操作が行われてきた。しかし、逐一の引き戻しは煩わしいだけでなく、効率も悪いことが問題であった。本研究では変数を正規直交ベクトルを並べた長方行列の全体（Stiefel多様体）内に拘束し、実際の数値計算において拘束条件から外れずに評価関数が最大値をとる点を見出すために、測地線を用いて勾配法を改良した。実際のデータを扱う場合にも、例えば無相関化のように各列（行）を直交させるという制限は非常によく現れる。またこのようにStiefel多様体内に変数をとることにより、単位ベクトルから直交行列まで変数を統一的に取扱うことができ、有意義である。本研究の流れを説明する。まずStiefel多様体上の行列を変数とした評価関数の関数値を最大化する測地線勾配法を考察し、さらにスケール変換や重み付けに役立つように、標準計量を左不変計量に一般化して、それに応じて測地流と勾配ベクトルを解析し、より一般的な測地線勾配法を考案した。その後、数値計算用に測地線勾配法を近似したアルゴリズムを求め、実際に主成分分析に応用した。理論通りに評価関数の関数値の最大化が実現することが実証され、測地線勾配法は拘束条件を満たし続けた。さらに重み付けをすることでの収束の様子の変化を観察した。