物理学において、ポテンシャルが周期性をもつような系についての研究が多くな
されて来た。またトポロジー、対称性、保存量の関係が多様体上の量子力学にお
いて盛んに研究されている。多様体上の量子力学では通常、微分幾何学の概念を
用いるため、幾何学量は可微分であるものが扱われてきたが、本報告書では必ず
しも可微分ではない対象を取り扱う。特に、無限小の太さのソレノイドが平面上
で周期的に並ぶような理想化された特異な磁場を扱う。このような磁場を生み出
すベクトルポテンシャルの一つを Weierstrass のゼータ関数を用いて与えるこ
とができ、それはゲージ変換を除いて周期的である。このような磁場をもつ量子
力学系をトーラス上で考えるのは自然である。実際、ベクトルポテンシャルのも
つ性質を利用し、波動関数に周期条件を課すことによってトーラス上の量子力学
をして実現できる。特異磁場をもつトーラス上の量子力学系においては、磁束は
離散的な値しかもつことを許されないこと(磁束の量子化)、また連続的な並進対
称性しか幾何学的対称性をもたないことを示す。さらに、磁場中の量子力学は 
U(1)-ゲージ理論の一例であり、特異磁場の場合でも微分幾何学の理論にならっ
て記述が可能である。そこで、U(1)-ファイバー束、その上の接続を構成し、同
変関数の"水平"微分がトーラス上特異磁場中の運動量作用素の一般化を誘導する
ことをみる。