非線形ハミルトン系の非カオス的領域における挙動の解析に、その系のハミルト
ニアンの Birkhoff-Gustavson (BG)標準化が有効なことが知られている。
Birkhoff-Gustavson 標準化とは、与えられたハミルトニアンの半単純安定平衡
点まわりの級数展開から、各斉 k (k>=3) 次項が斉2次項である調和振動子ハミ
ルトニアンとPoisson 可換となっている巾級数への正準変換を指し、得られた級
数は Birkhoff-Gustavson (BG) 標準形と呼ばれる。BG 標準化の有効性の源泉は、
与えられた系の正則領域における相図と、系のハミルトニアンのBG標準形を適当
な次数で打ち切って得られる多項式ハミルトニアンをもつ新たな系の相図とが似
通っているという点にある。したがって、BG 標準形にある多項式のハミルトニ
アンを一つ与えたとき、そのハミルトニアンと BG 標準形を共有するような多項
式ハミルトニアンの族を求めることは、似通った正則領域を持つ多項式ハミルト
ニアンの族を得ることと同等と考えられる。この意味で、与えられた多項式 
BG 標準形を共有する多項式ハミルトニアンを決定する問題が、BG標準化逆問題
として、Uwano (1998) により提案された。Uwano(2000)は、2次元調和振動子に
斉3次ポテンシャルが印加された系(3PHOと略す)が調和振動子に斉4次多項式ポ
テンシャルが印加された系(4PHOと略す)とがBG 標準形を共有するための必要十
分条件が1世紀以上遡って得られているBertrand-Darboux 条件であることを、
3PHO に対する BG 標準化の逆問題を解くことで見出した。この結果の自然な延
長として、本論文では、3PHO に対するBG 標準化逆問題の特別な解として線形磁
場中の 4PHO が許容されるための条件を探る。3PHO に対する BG 標準化逆問題
を数式処理プログラムを援用して解くことで、その条件は 3PHO に対する 
Bertrand-Darboux 条件式に4PHO に印加される線形磁場を規定するゲージ不変量
が印加された形式で表されることがわかる。得られた条件が、
Bertrand-Barboux 条件の一般化、すなわち可積分性を保証する条件となってい
るか否かを調べたが、否定的な答えを得た。したがって、今回得られた条件は、
2つの非可積分系が BG 標準形を共有するおそらくは最初の具体例を与えている。