Euler-Poincare 方程式とその周辺

千葉 逸人

10月28日(金) 13時30分

1966年、Arnold[1]はLie群$G$上の左不変計量に関する測地線方程式(Euler-Poincare方程式)とその保存量を求め、$G$が$SO(3)$のときにはこれらが剛体のEuler方程式と角運動量保存則、$G$が多様体上の測度を保存する微分同相群のときには完全流体のEuler方程式とKelvinの渦定理を与えることを示した。
一方、シンプレクティック多様体上のHamiltonベクトル場の理論を無限次元まで拡張したMardsen[2]はHamilton形式の立場からEuler-Poincare方程式を導いている[3]。
今回の発表ではBlochら[4]に従って一般のLie群$G$の接バンドル$TG$上で定義された左不変な変分問題をLie環$g$の双対空間$g^*$上に簡約化することによりEuler-Poincare方程式を導出し、これをLegendre変換することでHamilton形式の方程式を得る。
時間があれば関連するいくつかの論文を紹介する。

[1] V.Arnold, "Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie etses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits", Ann. Inst. Fourier, 16(1966), pp.319-361
[2] J.Marsden, "Hamiltonian one parameter groups", Arch. Rational Mech. Anal. 28(1968), pp.362-396
[3] J.Marsden, R.Abraham, "Hamiltonian Mechanics on Lie Groups and Hydrodynamics",Proc. Sympos. Pure Math, 16(1970)
[4] A.Bloch, P.Krishnaprasad, J.Marsden, T.Ratiu, "The Euler-Poincare Equations and Double Bracket Dissipation", Commun. Math. Phys. 175(1996), pp.1-42